Aplicaciones Cónicas
La ecuación general de una cónica es
O en otros términos
Entre los tipos que podemos encontrar de cónicas podemos destacar las parábolas, elipses, e hipérbolas. Estas cónicas se denominan no degeneradas.
Parábola
La Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una misma distancia de un punto dado F llamado foco y de una recta dada l llamada directriz.
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| Antena parabólica |
Elementos de una parábola
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| Estructura con forma de Parábola |
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| Montana Rusa con forma parabólica |
- DIRECTRIZ: Es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola,esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco.
- EJE FOCAL: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el Foco.
- VÉRTICE: Es el punto por en el cual la parábola corta al eje focal.
- LADO RECTO: Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola (A,B).
- PARÁMETRO: La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma entre el vértice y el foco de una parábola es lo que recibe el nombre de parábola y denotamos con la letra p.
Elipse
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| En este tobogán se observa una Elipse
Que es ?
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- Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos dados de dicho plano,llamados focos,es constante.
- También es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría-con angulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado,mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Elementos del elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica con respecto a dos ejes perpendiculares entre si:
- EL SEMIEJE MAYOR: El segmento C-a de la figura.
- EL SEMIEJE MENOR: El segmento C-b de la figura.
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| Observamos una Elipse en un anuncio |
- La Elipse como curva geométrica fue estudiada por Menecmo,investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge.
- El foco y la directriz sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Poppus.
- En 1602 Kepler creia que la orbita de Marte era ovalada aunque mas tarde descubrio que se trataba de una elipse con el Sol en un foco.De hecho, Kepler introdujo la palabra "focus" y publico se descubrimiento en 1609.
- Halley,en 1705, demostro que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una orbita eliptica alrededor del Sol.
circunferencia
Como la definimos: Es una linea curva,plana y cerrada,cuya definición mas usual es:
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| En el logo de este C. Comercial encontramos una circunferencia
La circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia r de otro punto dado C.r es radio de la circunferencia y el punto C es el centro de la misma.
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También a la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
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| En este Bold se aprecia una circunferencia |
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
Hipérbola
Una hipérbola es una sección cónica,una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por uno oblicuo al eje de simetría con angulo menor que el de la generatriz respecto al eje de revolución.
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| En el reflejo de esta lampara se hace una hipérbola |
- Una HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplan con la condición de que el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F', llamados focos( son dos puntos. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz.) de la hipérbola, es una constante positiva.La Hipérbola consta de dos ramas diferentes,cada una de longitud infinita.
- FOCOS: Son los puntos fijos F Y F'.
- EJE FOCAL: Es la recta que pasa por los focos.
- EFE SECUNDARIO O IMAGINARIO: Es la mediatriz del segmento
. - CENTRO: Es el punto de intersección de los ejes.
- VÉRTICES: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
- RADIOS VECTORES: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola hasta los focos: PF y PF'.
- DISTANCIA FOCAL: Es el segmento de longitud 2c.
- EJE MAYOR: Es el segmento
de longitud 2a. - EJE MENOR: Es el segmento
de longitud 2b. - EJE DE SIMETRÍA: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
- ASÍNTOTAS: Son las rectas de ecuaciones :
La ecuación general de una cuádrica es
En términos matriciales
Entre los tipos que podemos encontrar de cuádricas podemos destacar los paraboloides, elipsoides, e hiperboloides. Estas son cuádricas no degeneradas.
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