Aplicaciones Cónicas y Cuádricas (TEORÍA)

cónicas

     Cuando nos referimos a las cónicas, usualmente pensamos solo en la parte matemática, vale decir, las ecuaciones y los conceptos de éstas. Sin embargo, desde los tiempos antiguos tenían utilidades prácticas (ya sea medio legendarios como la hazaña de Arquímedes, al destruir naves romanas con un espejo gigante o reales, como la creación de espejos pequeños, importantes más adelante en la óptica).

    En la Edad Moderna y Contemporánea, adquirieron mayor relevancia para el ser humano en ámbitos tanto matemáticos como físicos, inclusive llegando más allá, sobrepasando las expectativas que se tenían, como el uso en telecomunicaciones e industria.

   Quizá, cuando la tecnología siga avanzando tal como lo hace ahora en el siglo XXI, tendremos que recurrir a las ideas de las cónicas, con propósito de mejorar lo preexistente.

     También se conoce como Cónica que es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.

     Existen 4 tipos de ejemplos de intersección de un plano en un cono los cuales son: 

• Hipérbola
• Parábola 
• Elipse 
• Circunferencia 

Aplicaciones cónicas

      Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.

Hipérbola 

      Una hipérbola es una sección cónica, una curva de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elipse

      La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

      Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Parábola 

      La parábola es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz.

      Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Circunferencia

      Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Cuádrica 

Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo:

Clasificación

     Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura , es decir, el módulo de la diferencia entre el número de auto valores positivos y negativos de A₀₀. Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A₀₀ que permiten determinar  sin necesidad de calcular explícitamente sus auto valores.